5-1. GAN (Part1. GAN architecture)

안녕하세요.

이번 글에서는 최초의 GAN 논문인 "Generative Adversarial Nets"을 리뷰하려고 합니다.

 

우선, GAN이라는 모델이 설명할 내용이 많다고 판단하여 파트를 두 개로 나누었습니다. 

 

Part1에서는 GAN architecture를 포함한 GAN에 대한 전반적인 내용들(Abstract, 1.introduction, 3.Adversarial nets)을 이야기하고, Part2에서는 GAN을 수학적으로 정리한 내용(4.Theoretical results) 및 나머지 부분들(5.Experiments, 6.Advantages and disadvantages)에 대해 이야기 해보도록 하겠습니다.

 

그럼 이번 글에서는 Part1에 대해 설명하도록 하겠습니다.

 

 

https://arxiv.org/abs/1406.2661

Generative Adversarial Networks

 

 

 

Paper: Generative Adversarial Networks

arXiv: 2014.06.10 등록

Conference: 2016 NIPS

 

 

 

 

Ian J. Goodfellow

논문을 리뷰하기 전에 GAN의 저자인 Ian J. Goodfellow를 간략히 소개할까 합니다. (딥러닝 하시는 분들이라면 대부분 알고 있으실테니, 보기 편하게 간략히 정리하는 정도로만 하겠습니다~)

 

• B.S, M.S (2004~2009)
  • University: Stanford University
  • Major: Computer Science
  • Supervisor: Andrew Ng
• Ph.D (2010~2014)
  • University: Université de Montréal
  • Major: Machine Learning
  • Supervisor1: Yoshua Bengio
  • Supervisor2: Aaron Courville
  • GAN 논문은 박사과정때 쓴 것 (arXiv 2014.06)
• Google Brain (2015~2016)
  • Senior Research Scientist
• Open AI (2016~2017)
  • Research Scientist
  • GAN논문이 NIPS에 accept되어, presentation 발표함
• Google Research (2017~2019)
  • Senior Staff Research Scientist
• Apple (2019~Current)
  • Director of Machine Learning

 

 

(↓↓↓2016 NIPS에서 Open AI 소속으로 GAN을 발표하는 Ian J. Goodfellow↓↓↓)

 

 

Ian J. Goodfellow는 박사과정 졸업 후, supervisor인 Yoshua Bengio, Aaron Courville와 함께 Deep Learning book을 편찬했습니다. 제 생각에는 책의 발행년도가 2015년이니 이전부터 아마 박사과정 졸업 논문을 쓰면서 background로 정리해 놨던 내용들을 지도교수들과 함께 책으로 만든게 아닌가 싶습니다. 제가 석사 때 다녔던 대학원을 포함해, 많은 학교에서 이 책을 deep learning 수업교재로 사용했던걸로 기억합니다.

 

(↓↓↓이 책은 아래 사이트에서 무료로 볼 수 있습니다↓↓↓)

<그림 출처: https://www.techleer.com/articles/260-deep-learning-by-goodfellow-bengio-and-courville/>

https://www.deeplearningbook.org/

Deep Learning

 

 

(↓↓↓Ian J. Goodfellow LinkedIn↓↓↓)

https://www.linkedin.com/in/ian-goodfellow-b7187213/

 

GAN의 저자인 Ian J. Goodfellow에 대해서 간단히 알아봤으니 이제부터는 논문을 본격적으로 리뷰해보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

 

0. Abstract

 

 

Abstract에서 설명한 내용을 6가지 key words로 나누어 설명드리고자 합니다.

1. Adversarial process (Abstract에서 분홍색 음영처리 된 부분)
2. Minimax two-player game (Abstract에서 주황색 음영처리 된 부분) 
3. Estimating generative models (Abstract에서 노란색 음영처리 된 부분)
4. A unique solution (Abstract에서 보라색 음영처리 된 부분)
5. Architecture (Abstract에서 빨간색 음영처리 된 부분)
6. Qualitative and quantitative evaluation (Abstract에서 회색 음영처리 된 부분)

 

 

[0-1. Adversarial process]

 

 

"GAN이라는 것은 기본적으로 generative model의 성능을 높이기 위해 고안된 architecture입니다."

 

 

즉, 실제와 유사한  이미지를 생성해주는 generative model을 만드는 것이 목적이죠. 

이렇게 이상적인 generative model을 만들기 위해 생각한 것이 generative model을 경쟁시키는 것입니다.

 

 

"우리도 경쟁을 통해서 성장하는 것 처럼 generative model도 경쟁을 통해 성장하게 하는 것이 GAN 논문의 기본 철학이죠."

 

 

GAN이라는 구조에서는 generative model의 경쟁자를 discriminator model로 두고 있습니다. 그리고, 앞서 언급한 경쟁이라는 표현보다는 "adversarial(적대적)"이라는 표현을 사용합니다. "Adversarial"이라는 표현을 쓴 이유는  generative model과 discriminator model은 서로 반대의 목적을 갖고 있었기 때문이라고 생각합니다 (경쟁이라는 표현은 사실 같은 목적을 두고도 사용할 수 있으니까요).

 

예를 들어, 위조 지폐범과 경찰은 서로 적대적이라고 할 수 있습니다. 왜냐하면, 위조지폐범은 일반인들이 진짜라고 믿게 만드는 fake money를  잘 생성하는 것이 목적이고, 경찰은 일반인들이 위조지폐를 가려낼 수 있는 방법들을 알려주는 것이 목적이기 때문입니다.

 

 

"범죄라는 것이 항상 '만들어 놓은 예방법을 피해가려는' 속성이 있기 때문에, 위조지폐를 가려낼 수 있는 방법이 좋아질 수록, 이를 피해 위조지폐를 만드는 기술도 더욱 교묘해 집니다." 

 

<그림 출처:  https://lepoeme20.github.io/archive/ADV_Training>

 

 

"이렇게 서로 적대적인 경쟁을 하다보면 위조지폐(=generative model)의 성능은 계속해서 좋아질 겁니다."

 

 

 

"a discriminative model D that estimates the probability that a sample came from the training data rather than G."라는 표현을 쓴 이유는 discriminative model이 기준을 'generative model로 부터 생성된 이미지인지를 판별하는 것'에 두는 것이 아니라, '실제 이미지인지를 판별하는 것'에 두는 것으로 봤기 때문이 아닌가 싶습니다. (CNN 관점에서 보면 background or negative sample 들을 잘 구별할 수 있게 학습하는 것과, foreground or positive sample들을 잘 구별할 수 있게 학습하는 것은 다른 문제이니까요. 예를 들어, 한 이미지에는 대부분 negative sample or background들이 많을 텐데, 이를 방치해두면 학습시 인공지능 모델이 background or negative sample만 잘 구분할 수 있도록 학습하게 될거에요. ) ← 혹시 이 부분에  대해서 다른 의견이 있으면 댓글로 남겨주세요!

 

 

 

[0-2. Minmax two-player game] 

 

앞서 언급한 "adversarial"이라는 개념을 좀 더 간단히 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

"경찰(D)가 최대한(max) 위조지폐를 구분할 수 있는 능력을 높일수록, (adversarial 관계에 의해) 위조지폐범(G)은  (경찰을 속이기 위해) 자신들이 만들어내는 가짜 이미지와 실제 이미지의 차이를 최소화(min)하게 된다."

 

 

위의 말을 수식적으로 아래와 같이 표현하는데, 아래 수식에 대한 설명은 뒤에서 더 자세히 다루도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

[0-3. Estimating generative models]

 

Generative model을 추정(estimating)한다는 것의 의미를 파악하기 위해서는 이미지라는 개념을 distribution 관점에서 해석할 수 있어야 합니다.

 

(↓↓↓ 이미지, 차원, 분포와 관련된 개념들↓↓↓)

https://89douner.tistory.com/330?category=908620 

1. 이미지, 차원(dimension), 그리고 분포(distribution)간의 관계

 

 

(↓↓↓latent space와 이미지를 2차원 상에서 확률분포로 표현하는 의미↓↓↓)

링크 업로드 예정

 

 

 

위의 링크를 토대로 추가적인 설명하면 generative model을 추정한다는 개념을 아래와 같이 정리할 수 있습니다. 

 

"Generative model을 추정한다는 것은 실제 이미지 확률 분포에 maximum likelihood하도록 하는 generative model의 확률 분포를 추정(estimating)한다고 간주할 수 있습니다."

 

 

 

 

[0-4. A unique solution]

 

이 부분은 "3.Adversarial nets", "4.Theoretical results"에서 좀 더 상세히 설명하도록 하겠습니다.

 

 

 

 

[0-5. Architecture]

 

위의 내용에 대한 설명은 아래 그림으로 대체하겠습니다. (보통 Vision 분야에서 생각하고 있는 GAN은 DCGAN을 기반으로 한 것인데, DCGAN은 이 논문 이후에 나온 모델입니다. 그래서, 아래 그림은 현재 논문에서 설명하고 있는 MLP를 기반으로 구성되었습니다)

 

<그림1 출처:  https://towardsdatascience.com/applied-deep-learning-part-3-autoencoders-1c083af4d798>    <그림2 출처:  https://techblog-history-younghunjo1.tistory.com/130>

 

 

 

 

[0-6. Qualitative and quantitative evaluation]

 

CNN, Object detection, Segmentation 모두 각각의 task에 대한 성능을 평가하기 위한 지표들이 존재합니다. (ex: F1 score, ACC, mAP, Dice loss, etc ...) 예를 들어, CNN model에서는 VGGNet보다 ResNet의 ACC가 더 좋으면 ResNet이 더 좋은 모델이라고 (일반적으로) 평가하죠. 

 

마찬가지로 generative model도 여러 종류들이 있을 텐데 어떠한 생성모델이  좋은지 평가할 수 있는 기준이 있어야겠죠? 

 

보통 generative model의 성능 평가 지표는 두 가지 큰 categories가 있습니다.

1. Qualitative measures are those measures that are not numerical and often involve human subjective evaluation or evaluation via comparison.
   • ex) Rapid Scene Categorization: 사람한테 잠깐 보여주고 이미지가 뭔지 맞추게 하여 생성모델이 이미지를 잘 생성하는지 평가
2. Quantitative GAN generator evaluation refers to the calculation of specific numerical scores used to summarize the quality of generated images
   • ex) Frechet Inception Score (FIS) → DCGAN paper에서 설명할 예정

https://machinelearningmastery.com/how-to-evaluate-generative-adversarial-networks/

How to Evaluate Generative Adversarial Networks

 

※이 논문에서 Markov Chain 관련 내용이 많이 나오는데, 이 글에서는 넘어가도록 하겠습니다. Markov Chain에 대한 설명까지 하게 되면 글이 너무 길어질 것 같아서....

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Introduction

Introduction 부분은 문단(paragraph) 별, 문장(sentence) 별로 설명할 내용들이 많아 따로따로 나누어서 설명하도록 하겠습니다.

 

 

[1-1-1. First paragraph & First sentence]

[영어단어]

• corpora: 말뭉치(corpus의 복수형태)

 

 

 

보통 CNN 같은 경우 다양하고(rich) 구조적(hierarchical)으로 filter가 구성되어 있습니다. 예를 들어, low-level layer 만해도 가로 edge, 세로 edge 등 다양한 feature들을 extraction 해줄 수 있는 filter들로 구성 되어있죠. 또한, low-level layer에서는 edge, middle-level layer에서는 texture, high-level layer에서는 semantic 정보들을 추출해 줄 수 있게 filter가 구성되어 있습니다.

 

 

<그림 출처: https://slidetodoc.com/introduction-to-deep-learning-professor-qiang-yang-outline/>

 

위와 같은 CNN(discriminator)모델은 어떤 이미지를 분류하기 위해 filter들이 최적화되었다고 볼 수 있습니다. 결국 어떤 이미지를 생성하는 generative model 역시 다양한 이미지를 생성하기 위해 rich and hierarchical feature들을 생성해야겠죠. (※CNN과 같은 discriminative model은 feature extraction하고, GAN과 같은 generative model은 feature generation한다고 보면 될 것 같네요)

 

"즉, generative model 입장에서는 어떤 이미지를 생성하기 위해 filter들을 최적화해야 합니다."

 

하지만, 이 논문에서 딥러닝의 미래는 이렇게 어떤 이미지를 분류하는 것이 아닌 어떤 데이터들을 그대로 표현(representation)해 줄 수 있는 모델을 만드는 것에 있다고 주장합니다. (어떤 데이터들을 그대로 표현해줄 수 있다면 해당 데이터들 또한 생성 할 수 있게 됩니다. 이에 대한 구체적인 설명은 논문을 리뷰해가면서 자세히 알아가도록 하겠습니다) 

 

 

 

 

 

[1-1-2. First paragraph & Second, Third sentence]

 

이 논문의 저자는 CNN(=discriminative model)과 같은 딥러닝 모델이 성공한 이유를 세 가지 측면에서 설명하고 있습니다. 

 

<그림 출처:  https://towardsdatascience.com/a-comprehensive-guide-to-convolutional-neural-networks-the-eli5-way-3bd2b1164a53>

1. Map a high-dimensional, rich sensory input to a class label. ← discrimination(or classification)을 위해 저차원 vector(=FC layer의 neuron들)를 선별해줌 (Curse of dimensionality 극복)
2. Backpropagation and dropout algorithms ← Neural network의 첫 번째 겨울을 극복하게 해준 알고리즘
3. Piecewise linear units ← Neural network의 두 번째 겨울을 극복하게 해준 ReLU (Vanishing gradient 극복)  
   • ReLU는 0을 기점으로 구분적으로 linear한 성격을 갖고 있습니다. Sigmoid보다 piecewise linear units (ReLU)에 의해 gradient가 더 잘 작동되었습니다.
   • piecewise 뜻: [수학] 구분적으로

<그림 출처: https://sanghyu.tistory.com/102>

 

 

 

 

[1-1-3. First paragraph & Fourth, Fifth sentence]

[영어단어]

• sidestep: If you sidestep a problem, you avoid discussing it or dealing with it.

 

 

Deep generative model은 CNN 만큼 큰 임팩트를 주지는 못했는데, 그 이유는 deep generative model의 계산 복잡성 때문입니다. Deep generative model과 같은 확률모델을 생성하기 위해 maximum likelihood 계산을 할 때는 (보통) 계산시스템 관점에서 intractable problem 문제에 부딪히는 경우가 많습니다. 예를 들어, VAE와 같은 deep generative model은 본래 intractable problem이었는데, variational inference라는 mathematical trick을 이용하여 tractable problem으로 변경해주었죠. (VAE 관련 글은 짧은 시간내에 다루도록 하겠습니다. 정리는 해놨는데 시간 때문에 옮겨적고 있지 못하고 있어서ㅜ...;;)

 

(↓↓↓ intractable에 대한 설명을 다룬 글↓↓↓)

https://89douner.tistory.com/327

3. Intractable problem이란? (Feat. Turing machine)

 

또한, 기존 deep generative model은 ReLU와 같이 piecewise linear units의 장점을 잘 살리기도 어려웠다고 합니다.

 

"이러한 문제를 해결하기 위해 Ian Goodfellow는 새로운 generative model estimation procedure 방식을 제안하게 됩니다."

 

 

 

 

[1-2. Second paragraph & First sentence]

[영어단어]

• pit (somebody/something) against something: ~를 ~와 겨루게(경쟁하게) 하다.
• counterfeiter: 위조자

 

 

앞서 abstract의 "0-1.Adversarial process"의 내용을 다시 설명한 문단입니다.

 

 

<그림 출처: https://www.slideshare.net/NaverEngineering/1-gangenerative-adversarial-network>

 

다시 말하자면, 결국 adversarial 경쟁으로 위조자와 판별자의 능력이 서로 향상된다는 내용입니다. 위조지폐범의 위조지폐제작 기술은 경쟁하기 전 보다 훨씬 발전해 있을 것이고, 경찰의 위조지폐판독 기술 역시 경쟁 전 보다 훨씬 발전해 있을 것 임.

 

<그림 출처:  https://lepoeme20.github.io/archive/ADV_Training>

 

 

 

 

 

[1-3. Third paragraph]

 

위의 문단에 대한 설명은 아래 그림으로 대신하도록 하겠습니다.

 

<그림1 출처:  https://towardsdatascience.com/applied-deep-learning-part-3-autoencoders-1c083af4d798>    <그림2 출처:  https://techblog-history-younghunjo1.tistory.com/130>

 

 

VAE에서 와 같은 variational inference (approximate inference) 기법이나, 전통적인 생성모델에 쓰이던 Markov chains 같은 거 안써도 된다는 것이 GAN의 큰 장점이라고 합니다. (앞서 언급했듯이, VAE와 Markov chains은 나중에 따로 글을 작성하여 설명하도록 하겠습니다)

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Adversarial nets

"3.Adversarial nets" 부분도 문단(paragraph) 별, 문장(sentence) 별로 설명할 내용들이 많아 따로따로 나누어서 설명하도록 하겠습니다.

 

 

[3-1-1. First paragraph & Second sentence]

 

논문에서는 uniform distribution으로 input noise를 sampling 했다고 합니다. 그 외 설명은 아래 이미지로 대신할 수 있을 것 같습니다.

 

 

여기서 한 가지 질문을 해보도록 하겠습니다.

 

"앞서, uniform sampling을 했다고 했는데, gaussian sampling을 하는건 안되나요?"

 

지금부터 이에 대한 답을 간단히 하기 위해 generative model의 taxonomy를 살펴보도록 하겠습니다.

 

앞서 "[0-3. Estimating generative models]"에서도 언급했듯이 우리는 generative model이 이미지 데이터의 확률분포를 maximum likelihood 하기를 원합니다. 하지만, 이미지 데이터를 표현(representation)하는 확률분포를 단 번에 아는 것은 쉬운일이 아니죠. 그래서, 학습을 통해 generative model을 이미지 데이터의 확률분포에 maximum likelihood 하도록 estimation(추정)하게 되는 것입니다.  이렇게 추정을 하는 방식에는 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다. 

 

 

 

첫 번째 방식은 explicit desnity입니다.  예를 들어, VAE에서는 이미지 데이터 확률분포  \(x\sim~p_{x}(x)\) or \(p_{x\sim~data}(x)\) 를 표현(representaiton)해주기 위해 이상적인 z 값을 sampling하기를 원합니다. 즉, 이상적인 z의 확률분포인 \(z\sim~p_{z}(z)\) or \(p_{z\sim~latent}(z)\)를 알아내고 싶은 것이죠. 그래서, VAE 모델은 사전에 명시적(explicit)으로 z의 확률분포인 \(p_{z\sim~latent}(z)\)가 특정 probability distribution인  gaussian distribution을 따를 것이라 가정합니다.  특히, VAE에서 초기에 설정한 density estimation 수식은 intractable했기 때문에 이를 variational inference를 이용해 approximation하도록 하여 tractable하게 바꾸게 됩니다. (← 이 부분에 대한 자세한 설명에서는 VAE paper 리뷰하면서 하도록 하겠습니다)

 

\(Z\sim~N(\mu, \sigma^{2})\)

\(P_{Z}(z)\)

 

<그림 출처: https://taeu.github.io/paper/deeplearning-paper-vae/>

 

 

두 번째는 GAN과 같은 implicit density 방식입니다. 앞서 VAE에서 언급한 것 처럼 explicit density(명시된 사전 확률분포)를 이용하는 방식아닌 사전에 어떠한 확률 분포도 명시하지 않습니다. 이것의 의미하는 바는 z의 확률 분포가 특정 확률분포를 따라야 한다는 가정이 없어도 된다는 뜻입니다.  그래서 앞서 input noise에 해당하는 z를 sampling 할 때, z가 uniform distribution을 따른 다는 가정하에 sampling을 해도 되고, gaussian distribution을 따른 다는 가정하에 sampling을 해도됩니다. 즉,  GAN 방식에서의 generative model은 (z의 확률분포가 무엇인지와는 별개로) 알아서 이미지 데이터의 확률 분포를 estimation할 수 있게 됩니다. 

 

앞서 VAE에서 intractable하다고 했던 이유는 사전에 명시적(explicit)으로 정의된 z의 probability distribution(=density function) 때문이라고 했는데, GAN에서는 z의 probability distribution에 대한 제약이 없으니 애초에 intractable density funciton을 approximating 할 필요가 없게 되는 것이죠.

 

"Since an adversarial learning method is adopted, we need not care about approximating intractable density functions."

 

(↓↓↓위의 영어문장을 발췌한 사이트↓↓↓)

https://towardsdatascience.com/generative-adversarial-networks-explained-34472718707a

Generative Adversarial Networks — Explained

 

 

즉, GAN은 구조적으로 adverarial training 방식을 채택함으로써 몇몇 generative model에서 겪었던 intractable 문제들을 다룰 수 있게 된 것입니다. 

 

"It's this back and forth that allows GANs to tackle otherwise intractable generative problems."

 

(↓↓↓위의 영어문장을 발췌한 사이트↓↓↓)

https://developers.google.com/machine-learning/gan/training

GAN Training  |  Generative Adversarial Networks  |  Google Developers

 

 

 

 

 

 

[3-1-2. First paragraph & Third, Fourth sentence]

 

세 번째 문장은 아래 그림으로 대체하고, 네 번째 문장은 "0-1. Adversasrial process"에서 설명했으니 넘어가도록 하겠습니다.

 

 

[3-1-3. First paragraph & Fifth sentence]

 

 

"Discriminator 관점에서는 Value function(=V(D,G)이 maximization 되어야 하고, Generator 관점에서는 Value function이 minimization되어야 합니다."

 

 

지금부터 이 부분에 대한 설명을 조금 더 자세히 해보도록 하겠습니다.

 

 

[Discriminator 관점]

먼저 Discriminator 관점에서 Value function(=V(D,G))을 해석해보겠습니다.

 

<그림 출처: https://www.slideshare.net/NaverEngineering/1-gangenerative-adversarial-network>

 

"Discriminator 관점에서는 real data인 x가 들어왔을 때 true=1 이라고 판별해줘야 하고 (→D(x)=1), z로부터 생성된 fake data인 G(z)가 들어왔을 때는 fake=0 이라고 판별해줘야 합니다(→D(G(z))=0)."

 

Discriminator가 이상적으로 작동하게 되면 D(x)=1, D(G(z))=0이기 때문에 V(D,G) 값은 0이 출력됩니다. 반대로, discriminator가 제 기능을 하지 못 하면 D(x)=0, D(G(x))=1 과 같은 값을 출력합니다. 이 때는, V(D,G) 값이 -∞로 흘러가죠. (D(x)=1, D(G(x))=1), (D(x)=0, D(G(x))=0) 다양한 조합을 생각해 보더라도 V(D,G)의 max 값은 0이고, min 값은 -∞ 인것을 알 수 있죠. 그래서 V(D,G) 함수가 갖는 range는 0 ~ -∞ 가 됩니다.

 

즉, discriminator 관점에서 봤을 때 V(D,G)를 maximization 한다는 것은, 0값에 수렴한다는 뜻과 같습니다.

 

사실 위와 같은 수식은 어떤 새로운 개념이 아니라, binary cross classification (real or fake)을 위해 binary cross entropy 수식을 이용한 것이라고 보시면 됩니다.

 

 

 

[Generator 관점]

Generator 관점에서는 Value function(=V(D,G))이 minimization되어야 합니다.

 

<그림 출처: https://www.slideshare.net/NaverEngineering/1-gangenerative-adversarial-network>

 

V(D,G)가 두 식으로 구성된다고 봤을 때, generator 관점에서 좌측 식은 고려 대상이 아닙니다. 왜냐하면, generator는 단지 z만을 입력으로 받기 때문이죠. (아래 그림 참고)

 

Generator는 discriminator를 속여야 하기 때문에 D(G(z))=1 방향으로 학습을 진행하게 됩니다. 이러한 방향으로 학습이 되다보면, 우측식에 의해 Value function(=V(D,G)은 min 값인 -∞ 으로 수렴하게 되기 때문에, V(D,G)를 minimize 하는 방향으로 학습하게 됩니다.

 

 

즉 이렇게 Generator를 학습시기키기 위해 Generator와 Discriminator가 상반된 (Adversarial) 목적을 갖는 다는 특성이 있기 때문에 Generative Adversarial Network 라고 부르게 됩니다.

 

<그림 출처: cs231n. lecture 14. Generative models>

 

 

수식에서 평균이 의미하는 바는 간단합니다.

• X: Real image dataset, G(z): Fake image dataset

 

 

V(D,G)라는 objective function은 결국 GAN이 어떠한 방향으로 학습하길 원하는지를 의미합니다. 만약, E라는 수식이 없으면 V(D,G)를 통해 GAN이 학습 할 때, 하나의 X 데이터, 하나의 G(z) 데이터만을 고려해서 학습하게 됩니다. 이렇게 되면 GAN이 굉장히 불안정하게 학습을 하게 되죠. 왜냐하면 다음에 학습할 X데이터와 G(z) 데이터가 이전  X, G(z) 데이터들과 확연히 다를 수 있기 때문입니다.

 

이는, 우리가 batch를 크게 잡아주지 않을 때와, 크게 잡아줄 때의 차이점을 생각해보면 더 이해가 쉬울 듯 한데, 아래 링크에서 “3-1.large batch training”&”3-1-1.linear scaling learning rate” 부분을 참고하시면 좋을 것 같습니다.

 

https://89douner.tistory.com/248

2. Bag of Tricks for Image Classification with Convolutional Neural Networks

 

다시말해, 다수의 X데이터, 다수의 G(z) 데이터를 평균적으로 고려할 수 있게 학습해야 GAN이 하나의 X real data, 하나의 G(z) 데이터가 아닌 X real dataset, G(z) fake dataset 모두를 고려하여 학습하게 되죠. 이렇게 모든 dataset을 고려한다는 표현에 평균과 distribution이라는 개념이 동시 내포되어 있는것이라고 생각합니다. (흔히 우리가 알고 있는 mini-batch 관점에서 해석해볼 수 있을 것 같습니다.)

 

 

 

 

[3-2-1. Second paragraph & First sentence]

 

다음 section인 4장(="4.Theoretical Results")에서는 GAN이라는 모델을 이론적으로 분석하는 내용들에 대해서 소개합니다. 

 

위의 문장 중 아래 부분에 해당되는 내용을 잠깐 설명드리겠습니다. 

 

"the training criterion allows one to recover the data generating distribution as G and D are given enough capacity, i.e, in the non-parametric limit"

 

Discriminator가 충분히 학습이 되면, generator를 recover할 수 있다고 표현하는데, 이 때 recover라는 뜻은 아래 의미 중 세 번째 의미로 쓰인 것 같습니다. 즉, discriminator를 먼저 학습을 시킴으로써 초기에 어려운 상황에 놓인 generator가 성장할 수 있다는 의미를 내포하고 있는 것 같습니다.

 

 

Machine learning book에서는 parametric과 non-parametric의 차이를 아래와 같이 정의하고 있습니다.

 

"Does the model have a fixed number of parameters, or does the number of parameters grow with the amount of training data? The former is called a parametric model, and the latter is called a nonparametric model."

 

GAN이라는 모델은 데이터셋의 크기에 따라 generator, discriminator를 구성하는 parameter들의 수가 달라야 합니다. 그렇기 때문에, 신경망을 사용하는 GAN 모델을 non-parametric model로 보는 것 같네요.

 

개인적으로는 아래 인용구 처럼 Yann LeCun이 페이스북에서 언급했던 내용이 직관적으로 받아드리기 좀 수월했던 것 같습니다.

 

"In general, a model that you cannot "saturate" as you increase training dataset is non parametirc."

 

또한, 책에서는 parametric model과 non-parametric model의 장단점을 아래와 같이 정의하고 있습니다.

 

Parametric model

• 장점: faster to use
• 단점: stronger assumptions about the nature of the data distribution → 예를 들어, parameter 수가 고정 된 어떤 모델에 사전 확률 분포를 미리 설정하여 generative model을 만든다는건, data distribution이 설정된 사전 확률 분포를 따를 것이라고 가정하는 것 → 하지만, 현실 세계에서 data distribution이 앞서 설정한 강력한 가정(="사전확률 분포를 따를 것이다")을 따르는 경우가 많지 않음

 

Non-parametric model

• 장점: flexible → 굳이 사전확률 분포같은 것을 안정해도 됨
• 단점: often computationally intractable for large datasets. → 큰 데이터셋에서는 많은 parameter들이 필요하므로 종종 계산 시스템 관점에서 intractable할 수 있음

 

"the training criterion allows one to recover the data generating distribution as G and D are given enough capacity, i.e, in the non-parametric limit"

 

논문의 문장을 다시 한 번 살펴보겠습니다. 

 

Non-parametric (model의) limit(한계)은 computaionally intractable 문제를 늘 갖고 있습니다. 그래서 이러한 computationally intractable을 다룰 수 있는 enough capacity가 주어진다면, GAN training이 잘 될 수 있을거라 보고 있습니다.

 

(사실 앞서 GAN이 generative model에서 겪는 intractable 한 것을 해결했다고 하지만, 엄밀히 말해 "enough capacity"에 따라서 다시 intractable해질 수 있는 듯 합니다. )

 

(↓↓↓machine learning book에서 언급하는 parametric VS non-parametric models; "1.4.1 parametric vs non-parametric models" 참고↓↓↓)

http://noiselab.ucsd.edu/ECE228/Murphy_Machine_Learning.pdf

 

 

 

[3-2-2. Second paragraph & Second sentence]

 

이 문장에서는 Figure 1에 대해서 설명하도록 하겠습니다.

• \(D\): Dashed blue line = discriminative distribution
• \(p_{x}\): Dotted block line = data distribution
• \(p_{g}(G)\): Solid green line = generative distribution

 

이미지를 표현할 수 있는 저차원 latent space를 z차원으로 간주하고, z차원에서 sampling할 때 사전확률 분포를 uniform distribution \(z\sim~p_{z}(z)\)으로 설정하면 아래와 같이 일정한 간격으로 sampling됩니다. 추출된 각각의 sample들로부터 generated image가 생성 됩니다.

 

 

 

 

 

 

(실제로 z축의 차원과 x축의 차원은 다르기 때문에 1차원 개념으로 표현하는건 엄밀히 말하자면 잘 못 된 이지만, 이해를 돕기 위해 이렇게 한 듯 합니다. 그래서, “a less formal, more pedagogical explanation of the approach”라는 표현을 쓴게 아닌가 싶기도 하네요..)

 

위에서 설명한 내용을 아래와 그림과 같이 표현 할 수 있을 것 같습니다.

 

 

 

 

 

위 ③에서는 이미지 같은 데이터가 non-uniform distribution으로 표현(representation)될 수 있음을 언급하고 있습니다. 여기서의 포인트는 이미지 데이터의 차원에서 이미지 데이터들의 분포를 표현할 때는 uniform distribution으로 표현하기 어렵다(or 표현할 수 없다)라는 사실 입니다. 그러므로, 정규분포가 아닌 다른 non-uniform distribution으로 볼 수 있습니다.

 

(↓↓↓이미지와 non-uniform distribution간의 관계를 설명한 글↓↓↓)

https://89douner.tistory.com/330?category=908620 

1. 이미지, 차원(dimension), 그리고 분포(distribution)간의 관계

 

 

 

 

그럼 이제부터 (a), (b), (c), (d)에 대한 설명을 해보도록 하겠습니다.

• \(D\): Dashed blue line = discriminative distribution
• \(p_{x}\): Dotted block line = data distribution
• \(p_{g}(G)\): Solid green line = generative distribution

• (a): data distribution과 generative distribution이 어느 정도 유사한 상태 (pg is similar to pdata) → D가 아직까지는 잘 구분해주긴 하나, 조금 불안정한 상태
• (b): D가 잘 학습이 된 상태 → 예를 들어, (b) 그림상 해당 지점에서 왼쪽 값이면 real data로 구분, 오른쪽 값이면 fake data로 구분 → D분포(관점)에서 x축 상의 값이 왼쪽일 수록 fake이미지라고 판단할 확률(y값)이 높아짐 → D*관련 식은 뒤에서 설명
• (c): G를 업데이트 한 후, 학습이 잘 된 D분포의 gradient가 G(z)가 좀 더 의미있는 이미지를 생성할 수 있게 유도 함→ 이 부분은 문장에 어떤 숨어 있는 뜻이 있는지 잘 이해를 못했는데, 그냥 학습이 잘 된 D로 인해 \(p_{g}(G)\)분포가 업데이트 되면서 점점 \(p_{x}\)분포에 가까워진다는 것으로 이해함
• (d): G와 D가 충분히 학습되면 결국, G의 성능이 매우 높아져 D가 real data와 fake data를 전혀구분하지 못함 → 1/2 uniform distribution이 형성 됨

 

 

 

 

[3-2-3. Second paragraph & The rest]

 

 

 

[3-3-1. Third paragraph & First, Second, Third, Fourth sentence]

 

초기에는 D(G(z))=0 이나옵니다. 왜냐하면 초반에는 “G:Generative model”이 정교하지 않은 fake 이미지를 생성하기 때문에, discriminator가 G(z)로 생성된 이미지를 fake라고 잘 판별(D(G(z))=0)하게 됩니다. 그런데, log(1-(D(G(z)))) 꼴의 함수에서 초기 D(G(z)) 값이 0이 나온다면 gradient 값 자체가 saturation 된 상태이기 때문에, 업데이트가 더딜 수 있습니다.

 

그래서, G를 학습시키는 관점을 log(1-D(G(z)))을 minimization 하는 방향이 아니라, log(D(G(z)))를 maximization 하는 방향으로 학습시키게 하기 위해 term을 변경해 줍니다. 이렇게 term 변경이 가능한 이유는 아래와 같습니다.

 

"log(1-D(G(z)))를 minimization 한다 = D(G(z))=1 을 뱉어내도록 G를 학습시키기만 하면된다 =log(D(G(z)))를 maximization 하게 학습시킨다 = D(G(z)))=1을 뱉어내도록 G가 학습된다."

 

 

 

위와 같은 이유로 인해 실제 학습에 쓰이는 Value function (=V(D,G))는 아래와 같이 변경됩니다.

 

 

 

 

[3-3-2. Third paragraph & The last sentence]

 

위의 문장을 이해하기 위한 핵심 키워드는 "the same fixed point of the dynamics" 입니다. 이 키워드에 대한 개념을 세 가지 부분으로 나누어 차례대로 설명하겠습니다.

1. Numerical Analysis
2. Fixed point iteration (with 경사하강법(Steepest Gradient Descent))
3. Dynamics

 

[Numerical Analysis]

수치해석학(numerical analysis)은 해석학 문제에서 수치적인 근삿값을 구하는 알고리즘을 연구하는 학문입니다. 현대의 수치해석 역시 정확한 해를 구하지는 않습니다. 왜냐하면 현실에서 많은 문제들을 접했을 때, 실제로 정확한 해를 구하는 것이 불가능한 경우가 많기 때문입니다. 그대신 대다수의 경우, 수치해석을 이용해 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값을 구하는 것에 집중합니다.

 

그래서, 수치해석에서 optimization 이라는 용어가 쓰입니다. 최적화(optimization)라는 뜻 자체가 “완벽”하지 않다는 것을 가정하에 어느 정도의 오류를 수용하면서 최적의 값을 얻어내는 과정을 의미합니다.

 

수치해석 응용분야 예시

• 미분방정식: 수치적으로 미분 방정식을 푼다는 것은 주어진 미분 방정식의 근사해를 찾는 것 → Ex) Euler’s Methods
• 확률미분방정식과 Markov Chain
• 선형대수

 

최신 한양대 응용수학과 커리큘럼을 보면 수치해석을 위한 선수과목이 무엇인지 알 수 있습니다. (최적화이론에 convex optimization 같은게 들어있는 것 같은데..., 평소에 인공지능 하면서 부족하다거나 배우고 싶어했던 수학과목들이 체계적으로 잘 정리되어 있다는 느낌을 받았습니다)

<그림 출처:  http://amath.hanyang.ac.kr/page/?pid=curriculum1>

 

 

 

[Fixed point]

보통 Numerical Analysis 수업 자료들을 살펴보면 Fixed point라는 개념이 Chapter 3 정도에 위치해 있습니다.

 

<그림 출처:  https://web.ma.utexas.edu/CNA/NA2/toc.html>

 

Fixed points는 Nonlinear Equations(비선형 방정식)과 관련이 되어있기 때문에 먼저, Noninear Equations에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

Nonlinear Equations은 일차 함수식처럼 변수들 사이의 관계가 직선적으로 증가하거나 감소하는 것이 아니라, 변수들 사이의 관계가 곡선적으로 증가하거나 감소하는 현상을 나타내는 방정식을 말합니다.

 

딥러닝은 activation function, softmax와 같은 non-linear 함수가 결합된 합성함수 형태이므로 딥러닝의 최종 loss function 자체는 nonlinear function이라 할 수 있습니다. 

 

(↓↓↓딥러닝과 nonlinear function과의 관계를 설명한 글↓↓↓)

https://89douner.tistory.com/22

4. Activation Function은 왜 만들었나요?

 

https://89douner.tistory.com/23

5.Multi-Layer Perceptron (MLP), Universal Theorem

 

 

 

 

 

 

"딥러닝을 학습한다는 concept을 non-linear (loss) equation을 푸는(solving; solution) concept으로 이해할 수 있습니다."

 

 

이 때, x를 입력 데이터라고 하면 non-linear (loss) equation = f(x) = 0 의 값을 찾는 것이 목적이 됩니다. 하지만, 현실에서 loss=0 값을 찾는건 불가능에 가깝기 때문에 0에 가까운 loss 값을 찾기 위해 반복(iteration)하여 학습을 하게 되는 것이죠.

 

 

"이렇게 반복적인 방법으로 0의 (허용오차 범위 내에 있는) 근사값을 찾는 방법 중에 하나가 fixed-point iteration이라는 방법입니다."

 

 

Fixed-point iteration을 알아보기에 앞서 fixed-point의 수학적 정의가 무엇인지 살펴보겠습니다.

 

"In mathematics, a fixed point (sometimes shortened to fixpoint, also known as an invariant point) of a function is an element of the function's domain that is mapped to itself by the function."

 

(↓↓↓함수에서 Domain과 Range의 개념을 잘 보여주는 그림↓↓↓)

<그림 출처:  https://www.cuemath.com/calculus/domain-and-range-of-a-function/>

 

 

 

아래 그림의 f(x) 함수에서는 3개의 fixed opints를 갖습니다.

 

"y = f(x) = x → a fixed set = {fixed point1, fixed point2, fixed point3}"

 

Fixed point에 대해서 알아봤으니, 이제는 Fixed point iteration에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

• Fixed point iteration은 x=f(x)를 만족하는 x(=fixed point) 값을 알면 g(x)=0를 풀 수 있다는 관점에서 출발합니다.
• 하지만, x=f(x)를 만족시키는 x를 찾는 것은 현실세계에서 쉬운 문제는 아닙니다.
• 그래서, x값을 iteration 방식을 통해 업데이터 하여 x=f(x)에 근사하게 만드는 것이죠.
• x=f(x)를 만족시키는 근사값 x를 구하게 되면 g(x)=0을 풀 수 있게 됩니다.
• iteration을 구하는 방식을 예로 들면 아래와 같습니다.
• \(x_{2}=g(x_{1})\)    →    \(x_{3}=g(x_{2})\)    →    \(x_{4}=g(x_{3})\)    →    ...    →    \(x_{i+1}=g(x_{i})\)
• 위와 같은 방식을 통해 x=g(x)를 만족시키는 근사값 \(x_{i+1}\)을 구합니다. 그리고, 이를 통해 g(x)=0의 최적해인 x값을 구하게 되는 것이죠
• (여기서 간주해야 할 것이 fixed point iteration을 통해 최적해를 찾아가기 위해서는 f, g 함수 모두 연속적이어야 한다는 점입니다.
• 아래 문제를 통해 위에서 설명한 내용들을 직관적으로 이해해보도록 하겠습니다.

[문제1] g(x) = log(x)-x = 0을 구하기 위한 fixed point iteration 풀이법은?

1. g(x) = log(x) - x
2. f(x) = log(x) = x
3. \(x_{1}=g(x_{0})\)    →    \(x_{2}=g(x_{1})\)    →    ...    →    \(x_{i+1}=g(x_{i})\)

<그림 출처:  https://pseudo-code.tistory.com/123>

 

[문제2] 아래 그림을 보고 fixed point iteration으로 해를 찾아가는 방식을 이해하시오.

 

※참고로 fixed point iteration 방식을 이용해 근사해를 찾을 수 있는지 없는지에 대해 알아보려면 아래와 같은 조건을 따져보면 됩니다.

• Fixed point (a)에서 f'(a)가 1보다 작은지? 큰지? 확인

<그림 출처:  https://cae.seoultech.ac.kr/num/m06_Equation2.pdf>

 

Fixed point iteration에 대해 알아봤으니 이것이 딥러닝에서 사용되는 경사하강법과 어떠한 연관이 있는지 알아보겠습니다.

 

먼저, 아래 내용은 위스콘신 대학 computer science 부서의 Stephen J. Wright 교수의 수업교재 중 일부를 발췌한 내용입니다.

 

우리가 deep learning을 통해 배운 경사하강법 (Steepest Descent method) 방식은 Fixed point iteration 으로 간주할 수 있습니다. 앞서 배운 fixed point iteration과 조금 다른 점은 아래와 같습니다. 

• 함수는 convex 조건을 만족해야 최적해를 구할 수 있다.
• 기존 f(x)=0 방식이 아닌 (앞선 설명에서는 g(x)=0로 표기했습니다), gradient 관점에서 ∇f(x)=0 의 최적해를 구하기 위해 iteration 방식을 적용한다.

 

(아래 x*는 실제 해라고 가정하는 x의 근사값(=최적값)으로 볼 수 있습니다)

 

 

 

 

다시 논문으로 돌아와 해당 문장을 살펴보겠습니다.

 

 

 

 

앞서 설명한 내용을 요약하면 generator 부분의 초기 학습 시, log(1-D(G(z)))의 gradient값이 굉장히 낮기 때문에 saturation되는 현상을 보여줍니다. 그래서 G 입장에서는 log(1-D(G(z))의 gradient 값으로 학습해야 하는데, 충분한 gradient가 backpropagation되지 않기 때문에 초기 학습에 어려움을 느낍니다. 그래서, 아래 그림과 같이 log(D(G(z)))와 같은 형태로 변경시켜주었죠. (←이렇게 변경이 가능한 이유는 "3-3-1. Third paragraph & First, Second, Third, Fourth sentence"에서 설명드렸습니다)

 

 

 

문맥상에서 보면 log(D(G(z))로 변경시켜 주기 전에는 "the same fixed point of the dynamics of G and D" 가 아니었다고 생각하는데, 구체적으로 dynamcis와 same fixed point간의 관계를 파악하진 못했습니다. 여기서 말하는 dynamics라는 것도 결국에는 dynamic optimization(or programming) 관점에서 해석할 수 있고, "chain rule + dynamic programming = neural network"이기 때문에 여기서 언급하는 dynamics가 gradient를 내포하고 있는 듯 합니다. 그래서, log(D(G(z))로 변경되면 같은 gradient가 전파가 되고, 이것이 the same fixed point"와 연관이 있을 것 같긴한데, 아직까지 정확한 연결고리를 찾진 못했네요. 혹시 아시는 분 있으면 알려주세요!

 

 

 

 

 

 

 

 

지금까지 GAN에 대한 구조적인 부분에 대해서 설명해보았습니다.

 

설명이 잘 못 됐다고 생각되는 부분은 언제든 댓글을 남겨주세요!

 

다음에는 GAN이라는 모델이 numerical, iterative 방식으로 최적해(optimum)을 구할 수 있는지 증명하는 "4.Theoretical Results"에 대해설명하도록 하겠습니다.

 

 

감사합니다!

 

 

 

 

 

 

[Refernece]

1. 1시간 만에 GAN 학습하기

https://www.youtube.com/watch?v=odpjk7_tGY0 

 

 

2. CS231n. Lecture13. Generative Models 

https://www.youtube.com/watch?v=5WoItGTWV54